【干货】位错的弹性性质 17

理论基础：连续弹性介质模型

假设：

1.完全服从虎克定律，即不存在塑性变形；

2.各向同性；

3.连续介质，不存在结构间隙。

01

位错的应力场

刃位错上面的原子处于压应力状态，为压应力场；刃位错下面的原子处于张应力状态，为张应力场；围绕一个螺位错的晶体圆柱体区域也有应力场存在。

围绕一个螺位错的晶体圆柱体区域也有应力场存在，只有切应力分量，切应力分量是轴对称的，正应力分量全为0，螺位错不引起晶体的膨胀或收缩。

刃位错上面的原子处于压应力状态，为压应力场；刃位错下面的原子处于张应力状态，为张应力场；垂直于位错线的任一截面上应力分量均相同。

各应力分量的大小与伯氏矢量的模成正比。

熟悉刃型位错周围的应力场方向，单位长度位错的总应变能

图1 刃型位错各应力分量符号与位置的关系

02

位错的应变能

位错周围点阵畸变引起弹性应力场导致晶体能量的增加，这部分能量即为位错的应变能。包括两部分：W_tot=W_core+W_elW_core——位错中心畸变能W_el——弹性应变能（1）位错核心能W_core，在位错核心几个原子间距r_o=2|b|=2b以内的区域，滑移面两侧原子间的错排能即相当于位错核心能。错排能约占位错能的1/10，可忽略。（2）弹性应变能W_el，在位错核心区以外，长程应力场作用范围所具有的能量，约占位错能的9/10。总之：（1）位错的弹性应变能W_elµlnR，即随R缓慢地增加，所以位错具有长程应力场。（2）位错的能量是以单位长度的能量来定义的，直线位错更稳定，位错线有尽量变直和缩短其长度的趋势。（3）位错的应变能与b²成正比。位错的弹性应变能可进一步简化为一个简单的函数式：W=a Gb²。式中W为单位长度位错线的弹性应变能，G是剪切模量，b是柏氏矢量， α=1/4πlnR/r₀  其中R是晶体的外径、r₀ 是位错核心的半径，系数a由位错的类型、密度（R值）决定，其值的范围为0.5-1.0。意义：上式表明W∝b²，故可用柏氏矢量的大小来判断晶体哪些地方最容易形成位错。

03

位错的线张力

位错的总应变能与位错线的长度成正比。为了降低能量，位错线有力求缩短的倾向，故在位错线上存在一种使其变直的线张力T。一条两端固定的位错在切应力τ作用下将呈现曲率半径为r的弯曲。近似满足

。

04

作用在位错上的力

作用在单位长度位错上的力Fd，它与外切应力τ和位错的伯氏矢量b成正比，方向总是与位错线相垂直并且指向滑移面未滑移部分，即：作用在单位长度刃型位错上攀移力 Fy的方向和位错线攀移方向一致，也垂直于位错线，即

05

位错间的交互作用力

1. 两个平行位错之间的交互作用

①同号刃型位错间的相互作用力

对于两个位于相距为d的平行滑移面上的同号位错1和2，设其柏氏矢量分别为b₁和b₂。为求位错1对位错2的作用力f₁₂，现选择如图2所示坐标系。

图2 同号刃型位错间的相互作用力

由物理论证法容易得出位错2受位错1的滑移力和攀移力：

由公式可以作出和x的关系曲线如图3所示。从图像中可以看出，位错2在x＝0和x＝y两点时＝0。但在x＝y处是亚稳平衡状态（位错2无论沿x轴正向或负向偏离该点，的作用都是使其更加偏离平衡位置），而在x＝0为稳定平衡状态（在该点无论位错2沿x轴的哪个方向偏离，对它的作用都是使其回到平衡位置）。由此可见，晶体中的同号刃型位错总是力图排成一列（x = 0），形成所谓的位错墙。由公式还可以看出同号刃型位错是相斥的，即排成位错墙的各同号位错之间力图互相远离。

图3 同号刃型位错间的相互作用力和x的关系曲线

通过同样的方法计算位错2对位错1的作用力可得

②异号刃型位错间的相互作用

上面已求得同号刃型位错间作用力的公式，只需将其中的换成就可得到异号刃型位错间的相互作用力公式：

由此作得异号刃型位错间作用力和x之间的关系曲线，如图3所示。

从公式和曲线中可以看出，当位错2位于x＝0和x＝y两点时。但在x＝0处是亚稳平衡状态，而在x＝y为稳定平衡状态。因此，异号刃型位错力图排在和滑移面成45°的平面上。且异号刃型位错之间相互吸引。

同样，对异号刃型位错也可以得到

图3 异号刃型位错间的相互作用力和x的关系曲线

③平行螺位错之间的相互作用力

对于两个平行螺位错1和2（设柏氏矢量分别为b₁和b₂），我们选取如图5所示的坐标系。则位错1在位错2处产生的应力为，因此位错1对位错2的作用力应该为： 

其中，两平行螺位错同号时取“＋”，异号时取“－”。这也说明了同号平行螺位错之间相互排斥，异号平行螺位错之间相互吸引。

图5 两个平行螺位错之间的相互作用

④螺位错和刃位错之间的相互作用

对于螺位错1和刃位错2之间的相互作用，我们选取如图6所示的坐标系。根据前面对两刃型位错之间的作用力分析，我们可以得出，此时螺位错1对刃位错2的作用力应该为

而螺型位错的应力场中。由此我们可以得出结论：螺型位错和刃型位错之间无相互作用

。

图6 螺位错和刃位错之间的相互作用

2. 位于同一滑移面上的一对平行混合位错间的交互作用

如图7所示，一对位于同一平面的一对平行混合位错1和2，其柏氏矢量分别为b₁和b₂，且各自与位错线的夹角为α和β。

图7 位于同一滑移面上的一对平行混合位错间的交互作用

要求位错1对位错2的作用力，首先要将b₁和b₂分解为平行和垂直于位错线的分量，即分解为刃型和螺型分量：

由于螺位错和刃位错之间无相互作用，因此只用分别计算两个螺位错以及两个刃位错之间的交互作用。

对于金属材料，泊松比v一般都比较小，所以可以令1－v≈1，由此可得：

对上述计算结果进行分析，可以得出以下结论：

时，θ为锐角，f_x >0，两位错相互排斥； 

时，θ为钝角，f_x <0，两位错相互吸引；

时，

上期答案

When crystal near the edge dislocation contain (a) vacancies overbalance（过饱和）; (b) interstitial atoms overbalance; (c) vacancies sub equilibrium ; (d) interstitial atoms below equilibrium ,  how will the dislocation climb?

Q：对于正刃型位错（a）正攀移（b）负攀移（c）负攀移（d）正攀移

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